(1)のみ仮定： x = 10, y = 10 ならno、x = 10, y = 100
ならyes。よってsufficientでない。
(2)のみ仮定： x = 4, y = 25 ならno、x = 10, y = 100
ならyes。よってsufficientでない。
とここまでは実例で簡単にわかります。(1) and (2) を仮定した場合にはsufficientであることも
次の事実を知っていれば簡単にわかります。
「x, yをpositive integersとし、Gをそれらのgreatest common
divisor、Lをそれらの
least common multipleとすると、xy は GL に等しい」
実際、この事実より (1) and (2)を仮定するとxy
は10と100の積、即ち1000に等しいですから、
8で割り切れ、yesと答えられます。よって答えはC。
さて、上記の事実にはレッスンで何度か触れましたが、なぜそうなるのかについては余りハッキリ
説明しませんでしたので、この機会に証明を与えておきましょう。
証明：x/G、y/G をそれぞれ a、b と書き、L/x をcと書く。
するとGがx, yの最大公約数であることから a, bは互いに素なる整数であり、Lがxの倍数で
あることからcは整数。また
L = xc = Gac, y = Gb
よって
L/y = ac/b
であるから、Lがyの倍数であることからac/bは整数。以上より（Ma-1で強調したある事実を
使って）cがbの倍数であること、従ってL = GacがGabの倍数であることがわかった。他方、
Gabは明らかにx = Gaとy = Gbの公倍数であるからxとyの最小公倍数たるLの倍数。これで
LはGabの倍数であり、かつGabはLの倍数であることがわかったが、LもGabも正なのだからこれ
は
L = Gab
を意味する。この式の両辺にGをかけて
GL = (Ga)(Gb) = xy
を得る。
